2017-2018年度福建福州九上质检倒二题解析
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(2017-2018·福州九上质检倒一)
已知:△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,P是平面上一点,且DP=1,连接BP,CP.
1)如图,当点P在线段BD上时,求CP的长;
2)当△BPC是等腰三角形时,求CP的长;
3)将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B',连接AB',求AB'的最大值.
【图文解析】
1)如下图示:
易知:CD⊥AB,且CD=。
再由勾股定理可得:CP=3.
1)由DP=1 可知:点P在以点D为圆心,1为半径的圆上运动.
如下图示:
当△BPC是等腰三角形时,必须分三种情况讨论:
①当PB=PC时,点P在BC的垂直平分线上,如下图示:
(注:第3小题的法一解题思路,在《顶尖中考微专题》的样章有详细介绍)
方法2: 轨迹法
当点P绕圆D运动时,点B’也相应地绕以点C’(将点B绕点D顺时针旋转90°得到点C’)为圆心,半径为根号2的圆运动.
方法3: 代数法(函数法)
以点C为坐标原点,BC所在直线为x轴,CA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,构造”一线三等角模型”;
设P(m,n); 如下图示:
当然,除了可以以点C作为坐标原点,也可以以点D为坐标原点建立直角坐标系".
【反思】
1. 第2)小题中要求使等腰三角形成立时CP的长,不仅要分类讨论三种不同 的情况,同时还要保证使点P能够满足DP=1,所以还要再判断P的存在性.
2. 第3)小题,可以看成是”手拉手模型”的一种,所以要解决此类问题,最好要先体会如何构造”手拉手模型”.
3. 第3)小题中,还可以将题中的最大值,改换成最小值, 也可以求点P在运动的过程中,AB’的取值范围.
【牛刀小试】
如图,点O在线段AB上,OA=1,OB=3,以O为圆心、OA长为半径作⊙O,点M在⊙O上运动,连接MB,以MB为腰作等腰Rt△MBC,使∠MBC=90°,M、B、C三点为逆时针顺序,连接AC,则AC的取值范围是_______.
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